PINN 入门讲义：从微分方程到物理信息神经网络

这套讲义想解决什么问题#

Physics-Informed Neural Networks，也就是 PINN，经常被一句话概括为“把物理方程写进神经网络损失函数”。这句话很漂亮，但对初学者来说往往不够用：物理方程是什么，为什么未知量首先是一个函数，残差从哪里来，自动微分到底在求谁对谁的导数，边界条件为什么会变成损失函数，神经网络又为什么可以拿来近似 PDE 的解？这些问题如果不先铺开，PINN 很容易变成一组公式和代码片段的拼贴。

这套讲义的写作目标，是把 PINN 放回它真正属于的背景中理解：科学计算中的未知函数、微分方程描述的变化规律、数值近似中的残差思想、神经网络作为可训练函数，以及用优化方法同时满足数据和物理约束。它不假设读者已经熟悉神经网络，也不把 PINN 包装成万能求解器；相反，它希望用尽量连续的教材式叙述，把 PINN 的优雅之处和困难之处都讲清楚。

阅读路径#

这套讲义的主线可以概括为：

1
科学计算中的未知函数
2
→ 函数变化与导数
3
→ 微分方程、边界条件与数值近似
4
→ 神经网络作为可训练函数
5
→ 损失函数、优化与自动微分
6
→ PINN 的方程残差与训练
7
→ ODE 与 PDE 示例
8
→ 误差、局限与科学机器学习进阶

如果你已经熟悉微分方程和数值方法，可以从第 3 章或第 5 章开始；如果你希望稳一点，把地基打得不那么晃，建议从第 0 章读起。科研路上少一点“我懂了但代码不懂”的尴尬，也是一种温柔。

已发布章节#

后续计划#

后续章节会继续补充以下内容：

1. 边界条件、初值条件与损失设计：讨论 Dirichlet 条件、Neumann 条件、周期边界条件，以及软约束、硬约束和损失权重平衡。
2. 从零实现一个 PINN：用 PyTorch 把数学对象逐一翻译成代码，包括网络、自动微分、配置点、残差损失和优化器。
3. PINN 的误差、困难与局限：分析函数近似误差、优化困难、采样不足、损失项不平衡、高频解和多尺度问题。
4. 从 PINN 到科学机器学习：简要连接 XPINN、DeepONet、FNO 和神经算子，区分“求一个方程的解”和“学习一个算子”。

这套讲义会随着我的学习和复现实验继续更新。若你也在 PINN、PDE、神经算子和科学机器学习之间反复横跳，希望这个系列能成为一条相对平整的路；至少，坑标得清楚一点，摔进去的时候也比较有学术尊严。